一元二次方程的應用題
一元二次方程的應用題（1）
一、增長(cháng)率問(wèn)題
例1 恒利商廈九月份的銷(xiāo)售額為200萬(wàn)元，十月份的銷(xiāo)售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷(xiāo)售額穩步上升，十二月份的銷(xiāo)售額達到了193.6萬(wàn)元，求這兩個(gè)月的平均增長(cháng)率。
解 設這兩個(gè)月的平均增長(cháng)率是x。，則根據題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，
即(1+x)2＝1.21，解這個(gè)方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。
答 這兩個(gè)月的平均增長(cháng)率是10%。
說(shuō)明 這是一道正增長(cháng)率問(wèn)題，對于正的增長(cháng)率問(wèn)題，在弄清楚增長(cháng)的次數和問(wèn)題中每一個(gè)數據的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。對于負的增長(cháng)率問(wèn)題，若經(jīng)過(guò)兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定價(jià)
例2 益群精品店以每件21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣(mài)出（350－10a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤不得超過(guò)20%，商店計劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應定價(jià)多少？
解 根據題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解這個(gè)方程，得a1＝25，a2＝31。
因為21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合題意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答 需要進(jìn)貨100件，每件商品應定價(jià)25元。
說(shuō)明 商品的定價(jià)問(wèn)題是商品交易中的重要問(wèn)題，也是各種考試的熱點(diǎn)。
三、儲蓄問(wèn)題
例3 王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢(qián)第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率。（假設不計利息稅）
解 設第一次存款時(shí)的年利率為x。
則根據題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530。整理，得90x2+145x－3＝0。
解這個(gè)方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63。由于存款利率不能為負數，所以將x2≈－1.63舍去。
答 第一次存款的年利率約是2.04%。
說(shuō)明 這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅。
四、趣味問(wèn)題
例4 一個(gè)醉漢拿著(zhù)一根竹竿進(jìn)城，橫著(zhù)怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(cháng)比城門(mén)寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒(méi)看城門(mén)高嗎，豎著(zhù)拿就可以進(jìn)去啦，結果豎著(zhù)比城門(mén)高2米，二人沒(méi)辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著(zhù)門(mén)的對角斜著(zhù)拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(cháng)嗎？
解 設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m。
則根據題意，得 (x+0.1+x+1。4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0。
解這個(gè)方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1。
所以x+1。4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5。
答 渠道的上口寬2.5m，渠深1m。
說(shuō)明 求解本題開(kāi)始時(shí)好象無(wú)從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解。
五、古詩(shī)問(wèn)題
例5 讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）。
大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數人物；
而立之年督東吳，早逝英年兩位數；
十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；
哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？
解 設周瑜逝世時(shí)的.年齡的個(gè)位數字為x，則十位數字為x－3。
則根據題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個(gè)方程，得x＝5或x＝6。
當x＝5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；
當x＝6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意。
答 周瑜去世的年齡為36歲。
說(shuō)明 本題雖然是一道古詩(shī)問(wèn)題，但它涉及到數字和年齡問(wèn)題，通過(guò)求解同學(xué)們應從中認真口味。
六、象棋比賽
例6 象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏(yíng)者記2分，輸者記0分。如果平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統計了中全部選手的得分總數，分別是1979，1980，1984，1985。經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統計無(wú)誤。試計算這次比賽共有多少個(gè)選手參加。
解 設共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n－1)個(gè)選手比賽一局，共計n(n－1)局，但兩個(gè)選手的對局從每個(gè)選手的角度各自統計了一次，因此實(shí)際比賽總局數應為 n(n－1)局。由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分。顯然(n－1)與n為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）。
答 參加比賽的選手共有45人。
說(shuō)明 類(lèi)似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問(wèn)題，都可以仿照些方法求解。
七、情景對話(huà)
例7 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風(fēng)景區旅游，推出了對話(huà)中收費標準。
某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元。請問(wèn)該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區旅游？
解 設該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區旅游。因為1000×25＝25000＜27000，所以員工人數一定超過(guò)25人。
則根據題意，得[1000－20(x－25)]x＝27000。
整理，得x2－75x+1350＝0，解這個(gè)方程，得x1＝45，x2＝30。
當x＝45時(shí)，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；
當x2＝30時(shí)，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意。
答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區旅游。
說(shuō)明 求解本題要時(shí)刻注意對話(huà)框中的數量關(guān)系，求得的解還要注意分類(lèi)討論，從中找出符合題意的結論。
一元二次方程的應用題（2）
1、某房屋開(kāi)發(fā)公司經(jīng)過(guò)幾年的不懈努力，開(kāi)發(fā)建設住宅面積由2000年4萬(wàn)平方米，到2002年的7萬(wàn)平方米。設這兩年該房屋開(kāi)發(fā)公司開(kāi)發(fā)建設住宅面積的年平均增長(cháng)率為x ，則可列方程為_(kāi)_______________；
2、宏欣機械廠(chǎng)生產(chǎn)某種型號的鼓風(fēng)機，一月至六月份的產(chǎn)量如下：
�。�1）求上半年鼓風(fēng)機月產(chǎn)量和平均數、中位數；
�。�2）由于改進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)，計劃八月份生產(chǎn)鼓風(fēng)機72臺，與上半年月產(chǎn)量平均數相比，七、八月鼓風(fēng)機生產(chǎn)量平均每月的增長(cháng)率是多少？
3、美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內容．某市城區近幾年來(lái)，通過(guò)拆遷舊房，植草，栽樹(shù)，修建公園等措施，使城區綠地面積不斷增加
�。�1）根據提供的信息，回答下列問(wèn)題：2001年底的綠地面積為 _______公頃，比2000年底增加了_______公頃；在1999年，2000年，2001年這三年中， 綠地面積增加最多的是 _______ 年；
�。�2）為滿(mǎn)足城市發(fā)展的需要，計劃到2003年底使城區綠地總面積達到72．6公頃，試求今明兩年綠地面積的年平均增長(cháng)率．
專(zhuān)題：行程問(wèn)題：
1、甲、乙兩艘旅游客輪同時(shí)從臺灣省某港出發(fā)來(lái)廈門(mén)。甲沿直航線(xiàn)航行180海里到達廈門(mén)；乙沿原來(lái)航線(xiàn)繞道香港后來(lái)廈門(mén)，共航行了720海里，結果乙比甲晚20小時(shí)到達廈門(mén)。已知乙速比甲速每小時(shí)快6海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于16海里/小時(shí)）？
2、為了開(kāi)闊學(xué)生視野，某校組織學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，步行6千米到科技展覽館參觀(guān)。返回時(shí)比去時(shí)每小題少走1千米，結果返回時(shí)比去時(shí)多用了半小時(shí)。求學(xué)生返回時(shí)步行的速度
3、甲、乙兩個(gè)城市間的鐵路路程為1600公里，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造，列車(chē)實(shí)施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小時(shí)，列車(chē)從甲城到乙城行駛時(shí)間減少4小時(shí)，這條鐵路在現有的安全條件下安全行駛速度不得超過(guò)140公里/小時(shí)。請你用學(xué)過(guò)的數學(xué)知識說(shuō)明在這條鐵路現有的條件下列車(chē)還可以再次提速。
專(zhuān)題：經(jīng)濟問(wèn)題：
1、某商店以2400元購進(jìn)某種盒裝茶葉，第一個(gè)月每盒按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià)，售出50盒，第二個(gè)月每盒以低于進(jìn)價(jià)5元作為售價(jià)，售完余下的茶葉．在整個(gè)買(mǎi)賣(mài)過(guò)程中盈利350元，求每盒茶葉的進(jìn)價(jià)．
2、黃岡百貨商店服裝柜在銷(xiāo)售中發(fā)現：“寶樂(lè )”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“六·一”國際兒童節，商場(chǎng)決定采取適當的降價(jià)措施，擴大銷(xiāo)售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場(chǎng)調查發(fā)現：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天銷(xiāo)售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝因應降價(jià)多少元？
3、某書(shū)店老板去批發(fā)市場(chǎng)購買(mǎi)某種圖書(shū)，第一次購用100元，按該書(shū)定價(jià)2。8元現售，并快售完．由于該書(shū)暢銷(xiāo)，第二次購書(shū)時(shí)，每本的批發(fā)價(jià)已比第一次高0。5元，用去了150元，所購數量比第一次多10本．當這批書(shū)售出時(shí)，出現滯銷(xiāo)，便以定價(jià)的5折售完剩余的圖書(shū)，試問(wèn)該老板第二次售書(shū)是賠錢(qián)了，還是賺錢(qián)了（不考慮其它因素）？若賠錢(qián)，賠多少？，若賺錢(qián)，賺多少？
專(zhuān)題：工程問(wèn)題：
1、為加強防汛工作，市工程隊準備對蘇州河一段長(cháng)為2240米的河堤進(jìn)行加固，由于采用新的加固模式，現在計劃每天加固的長(cháng)度比原計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數將比原計劃縮短2天。為進(jìn)一步縮短該段加固工程的時(shí)間，如果要求每天加固224米，那么在現在計劃的基礎上，每天加固的長(cháng)度還要再增加多少米？
2、某公司需在一個(gè)月（31天）內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．
�。�1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．
�。�2）如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時(shí)間內：A．請甲隊單獨完成此項工程出．B請乙隊單獨完成此項工程；C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上三種方案哪一種花錢(qián)最少？
3、一路段的道路維修工程準備對外招標，現有甲、乙兩個(gè)工程隊競標，競標資料顯示：若兩隊合作6天可完成，共需工程費10200元；若甲單獨完成，甲隊比乙隊少用5天，但甲隊的工程費每天比乙隊多300元。
�。�1）甲單獨完成需要幾天？
�。�2）工程指揮部決定從兩個(gè)隊中？一個(gè)隊單獨完成此工程，若從節省資金的角度考慮，應選哪個(gè)工程隊？為什么？
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