高中數學(xué)必修二知識點(diǎn)總結

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　　高中數學(xué)必修二知識點(diǎn)

　　一、直線(xiàn)與方程

　　(1)直線(xiàn)的傾斜角

　　定義:x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角.特別地,當直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí),我們規定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

　　(2)直線(xiàn)的斜率

　�、俣�義:傾斜角不是90°的直線(xiàn),它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率.直線(xiàn)的斜率常用k表示.即 .斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度.

　　當 時(shí), ; 當 時(shí), ; 當 時(shí), 不存在.

　�、谶^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式:

　　注意下面四點(diǎn):(1)當 時(shí),公式右邊無(wú)意義,直線(xiàn)的斜率不存在,傾斜角為90°;

　　(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān);(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標直接求得;

　　(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標先求斜率得到.

　　(3)直線(xiàn)方程

　�、冱c(diǎn)斜式: 直線(xiàn)斜率k,且過(guò)點(diǎn)

　　注意:當直線(xiàn)的斜率為0°時(shí),k=0,直線(xiàn)的方程是y=y1.

　　當直線(xiàn)的斜率為90°時(shí),直線(xiàn)的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標都等于x1,所以它的方程是x=x1.

　�、谛苯厥�: ,直線(xiàn)斜率為k,直線(xiàn)在y軸上的截距為b

　�、蹆牲c(diǎn)式: ( )直線(xiàn)兩點(diǎn) ,

　�、芙鼐厥�:

　　其中直線(xiàn) 與 軸交于點(diǎn) ,與 軸交于點(diǎn) ,即 與 軸、 軸的截距分別為 .

　�、菀话闶�: (A,B不全為0)

　　注意:各式的適用范圍 特殊的方程如:

　　平行于x軸的直線(xiàn): (b為常數); 平行于y軸的直線(xiàn): (a為常數);

　　(5)直線(xiàn)系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)

　　(一)平行直線(xiàn)系

　　平行于已知直線(xiàn) ( 是不全為0的常數)的直線(xiàn)系: (C為常數)

　　(二)垂直直線(xiàn)系

　　垂直于已知直線(xiàn) ( 是不全為0的常數)的直線(xiàn)系: (C為常數)

　　(三)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系

　　(ⅰ)斜率為k的直線(xiàn)系: ,直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) ;

　　(ⅱ)過(guò)兩條直線(xiàn) , 的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為

　　( 為參數),其中直線(xiàn) 不在直線(xiàn)系中.

　　(6)兩直線(xiàn)平行與垂直

　　當 , 時(shí),

　　;

　　注意:利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否.

　　(7)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

　　相交

　　交點(diǎn)坐標即方程組 的一組解.

　　方程組無(wú)解 ; 方程組有無(wú)數解 與 重合

　　(8)兩點(diǎn)間距離公式:設 是平面直角坐標系中的兩個(gè)點(diǎn),

　　則

　　(9)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式:一點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離

　　(10)兩平行直線(xiàn)距離公式

　　在任一直線(xiàn)上任取一點(diǎn),再轉化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解.

　　二、圓的方程

　　1、圓的定義:平面內到一定點(diǎn)的距離等于定長(cháng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(cháng)為圓的半徑.

　　2、圓的方程

　　(1)標準方程 ,圓心 ,半徑為r;

　　(2)一般方程

　　當 時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為 ,半徑為

　　當 時(shí),表示一個(gè)點(diǎn); 當 時(shí),方程不表示任何圖形.

　　(3)求圓方程的方法:

　　一般都采用待定系數法:先設后求.確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨立條件,若利用圓的標準方程,

　　需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

　　另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線(xiàn)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn),以此來(lái)確定圓心的位置.

　　3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系:

　　直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:

　　(1)設直線(xiàn) ,圓 ,圓心 到l的距離為 ,則有 ; ;

　　(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn):①k不存在,驗證是否成立②k存在,設點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線(xiàn)距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】

　　(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

　　4、圓與圓的位置關(guān)系:通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定.

　　設圓 ,

　　兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定.

　　當 時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線(xiàn)四條;

　　當 時(shí)兩圓外切,連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn),有外公切線(xiàn)兩條,內公切線(xiàn)一條;

　　當 時(shí)兩圓相交,連心線(xiàn)垂直平分公共弦,有兩條外公切線(xiàn);

　　當 時(shí),兩圓內切,連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn),只有一條公切線(xiàn);

　　當 時(shí),兩圓內含; 當 時(shí),為同心圓.

　　注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線(xiàn)上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線(xiàn)

　　圓的輔助線(xiàn)一般為連圓心與切線(xiàn)或者連圓心與弦中點(diǎn)

　　三、立體幾何初步

　　1、柱、錐、臺、球的結構特征

　　(1)棱柱:

　　幾何特征:兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形.

　　(2)棱錐

　　幾何特征:側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.

　　(3)棱臺:

　　幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

　　(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉,其余三邊旋轉所成

　　幾何特征:①底面是全等的圓;②母線(xiàn)與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形.

　　(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成

　　幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn);③側面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形.

　　(6)圓臺:定義:以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉軸,旋轉一周所成

　　幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn);③側面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形.

　　(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉軸,半圓面旋轉一周形成的.幾何體

　　幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑.

　　2、空間幾何體的三視圖

　　定義三視圖:正視圖(光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、

　　俯視圖(從上向下)

　　注:正視圖反映了物體的高度和長(cháng)度;俯視圖反映了物體的長(cháng)度和寬度;側視圖反映了物體的高度和寬度.

　　3、空間幾何體的直觀(guān)圖--斜二測畫(huà)法

　　斜二測畫(huà)法特點(diǎn):①原來(lái)與x軸平行的線(xiàn)段仍然與x平行且長(cháng)度不變;

　�、谠瓉�(lái)與y軸平行的線(xiàn)段仍然與y平行,長(cháng)度為原來(lái)的一半.

　　4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

　　(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和.

　　(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(cháng),h為高, 為斜高,l為母線(xiàn))

　　(3)柱體、錐體、臺體的體積公式

　　(4)球體的表面積和體積公式:V = ; S =

　　4、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系

　　公理1:如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內,那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內.

　　應用: 判斷直線(xiàn)是否在平面內

　　用符號語(yǔ)言表示公理1:

　　公理2:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)

　　符號:平面α和β相交,交線(xiàn)是a,記作α∩β=a.

　　符號語(yǔ)言:

　　公理2的作用:

　�、偎�是判定兩個(gè)平面相交的方法.

　�、谒�說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn).

　�、鬯�可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據.

　　公理3:經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

　　推論:一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線(xiàn)確定一平面;兩平行直線(xiàn)確定一平面.

　　公理3及其推論作用:①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據

　　公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行

　　空間直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

　�、� 異面直線(xiàn)定義:不同在任何一個(gè)平面內的兩條直線(xiàn)

　�、� 異面直線(xiàn)性質(zhì):既不平行,又不相交.

　�、� 異面直線(xiàn)判定:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)

　�、� 異面直線(xiàn)所成角:作平行,令兩線(xiàn)相交,所得銳角或直角,即所成角.兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直.

　　求異面直線(xiàn)所成角步驟:

　　A、利用定義構造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上. B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角

　　(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補.

　　(8)空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系

　　直線(xiàn)在平面內--有無(wú)數個(gè)公共點(diǎn).

　　三種位置關(guān)系的符號表示:a α a∩α=A a‖α

　　(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行--沒(méi)有公共點(diǎn);α‖β

　　相交--有一條公共直線(xiàn).α∩β=b

　　5、空間中的平行問(wèn)題

　　(1)直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)

　　線(xiàn)面平行的判定定理:平面外一條直線(xiàn)與此平面內一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行.

　　線(xiàn)線(xiàn)平行 線(xiàn)面平行

　　線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交,

　　那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行.線(xiàn)面平行 線(xiàn)線(xiàn)平行

　　(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

　　兩個(gè)平面平行的判定定理

　　(1)如果一個(gè)平面內的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行

　　(線(xiàn)面平行→面面平行),

　　(2)如果在兩個(gè)平面內,各有兩組相交直線(xiàn)對應平行,那么這兩個(gè)平面平行.

　　(線(xiàn)線(xiàn)平行→面面平行),

　　(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行,

　　兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

　　(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行.(面面平行→線(xiàn)面平行)

　　(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線(xiàn)平行.(面面平行→線(xiàn)線(xiàn)平行)

　　7、空間中的垂直問(wèn)題

　　(1)線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義

　�、賰蓷l異面直線(xiàn)的垂直:如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角,就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直.

　�、诰�(xiàn)面垂直:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內的任何一條直線(xiàn)垂直,就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.

　�、燮矫婧推矫娲怪�:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直.

　　(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

　�、倬�(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理

　　判定定理:如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內的兩條相交直線(xiàn)都垂直,那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面.

　　性質(zhì)定理:如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線(xiàn)平行.

　�、诿婷娲怪钡呐卸ǘɡ砗托再|(zhì)定理

　　判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn),那么這兩個(gè)平面互相垂直.

　　性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.

　　9、空間角問(wèn)題

　　(1)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角

　�、賰善叫兄本�(xiàn)所成的角:規定為 .

　�、趦蓷l相交直線(xiàn)所成的角:兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線(xiàn)所成的角.

　�、蹆蓷l異面直線(xiàn)所成的角:過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線(xiàn)a,b平行的直線(xiàn) ,形成兩條相交直線(xiàn),這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角.

　　(2)直線(xiàn)和平面所成的角

　�、倨矫娴钠叫芯�(xiàn)與平面所成的角:規定為 . ②平面的垂線(xiàn)與平面所成的角:規定為 .

　�、燮矫娴男本�(xiàn)與平面所成的角:平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內的射影所成的銳角,叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.

　　求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角:“一作,二證,三計算”.

　　在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn),

　　在解題時(shí),注意挖掘題設中兩個(gè)主要信息:(1)斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn);(2)過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn).

　　(3)二面角和二面角的平面角

　�、俣�面角的定義:從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線(xiàn)叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

　�、诙�面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn),這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角.

　�、壑倍�面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.

　　兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過(guò)來(lái),如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角

　�、芮蠖�面角的方法

　　定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角

　　垂面法:已知二面角內一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí),過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角

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