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線(xiàn)性代數知識點(diǎn)總結
總結是對取得的成績(jì)、存在的問(wèn)題及得到的經(jīng)驗和教訓等方面情況進(jìn)行評價(jià)與描述的一種書(shū)面材料，通過(guò)它可以全面地、系統地了解以往的學(xué)習和工作情況，因此十分有必須要寫(xiě)一份總結哦。那么總結應該包括什么內容呢？下面是小編為大家整理的線(xiàn)性代數知識點(diǎn)總結，希望對大家有所幫助。
線(xiàn)性代數在考研數學(xué)中占有重要地位，必須予以高度重視.線(xiàn)性代數試題的特點(diǎn)比較突出，以計算題為主，證明題為輔，因此，太奇考研專(zhuān)家們提醒廣大的20xx年的考生們必須注重計算能力.線(xiàn)性代數在數學(xué)一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學(xué)好線(xiàn)代也是必要的。下面，就將線(xiàn)代中重點(diǎn)內容和典型題型做了總結，希望對20xx考研的同學(xué)們學(xué)習有幫助。
行列式在整張試卷中所占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內容，不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、矩陣的秩、線(xiàn)性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問(wèn)題中都會(huì )涉及到行列式.如果試卷中沒(méi)有獨立的行列式的試題，必然會(huì )在其他章、節的試題中得以體現.行列式的重點(diǎn)內容是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開(kāi)公式將行列式降階.但在展開(kāi)之前往往先用行列式的性質(zhì)對行列式進(jìn)行恒等變形，化簡(jiǎn)之后再展開(kāi).另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三對角行列式、爪型行列式等等)的計算方法也應掌握.常見(jiàn)題型有：數字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算.關(guān)于每個(gè)重要題型的具體方法以及例題見(jiàn)《20xx年全國碩士研究生入學(xué)統一考試數學(xué)120種�？碱}型精解》。
矩陣是線(xiàn)性代數的核心，是后續各章的基礎.矩陣的概念、運算及理論貫穿線(xiàn)性代數的始終.這部分考點(diǎn)較多，重點(diǎn)考點(diǎn)有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程.涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類(lèi)常見(jiàn)試題.這幾年還經(jīng)常出現有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題.常見(jiàn)題型有以下幾種：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題、有關(guān)初等變換的命題、有關(guān)逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程。
向量組的線(xiàn)性相關(guān)性是線(xiàn)性代數的重點(diǎn)，也是考研的重點(diǎn)�？忌欢ㄒ酝赶蛄拷M線(xiàn)性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應用，還應與線(xiàn)性表出、向量組的秩及線(xiàn)性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側面加強對線(xiàn)性相關(guān)性的理解.常見(jiàn)題型有：判定向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、向量組線(xiàn)性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線(xiàn)性表出、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題。
往年考題中，方程組出現的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線(xiàn)性代數部分考查的重點(diǎn)內容.本章的重點(diǎn)內容有：齊次線(xiàn)性方程組有非零解和非齊次線(xiàn)性方程組有解的判定及解的結構、齊次線(xiàn)性方程組基礎解系的求解與證明、齊次(非齊次)線(xiàn)性方程組的求解(含對參數取值的討論).主要題型有：線(xiàn)性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線(xiàn)性方程組的基礎解系、非齊次線(xiàn)性方程組的通解結構、兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題。
特征值、特征向量是線(xiàn)性代數的重點(diǎn)內容，是考研的重點(diǎn)之一，題多分值大，共有三部分重點(diǎn)內容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實(shí)對稱(chēng)矩陣的正交相似對角化.重點(diǎn)題型有：數值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關(guān)實(shí)對稱(chēng)矩陣的問(wèn)題。
由于二次型與它的實(shí)對稱(chēng)矩陣式一一對應的，所以二次型的很多問(wèn)題都可以轉化為它的實(shí)對稱(chēng)矩陣的問(wèn)題，可見(jiàn)正確寫(xiě)出二次型的矩陣式處理二次型問(wèn)題的一個(gè)基礎.重點(diǎn)內容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標準形等概念;了解二次型的規范形和慣性定理;掌握用正交變換并會(huì )用配方法化二次型為標準形;理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法.重點(diǎn)題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形、二次型正定性的判別。
一、行列式與矩陣
行列式、矩陣是線(xiàn)性代數中的基礎章節，從命題人的角度來(lái)看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。
行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類(lèi)型，主要方法是應用行列式的性質(zhì)及按行(列)展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解;而對于抽象行列式而言，考點(diǎn)不在如何求行列式，而在于結合后面章節內容的相對綜合的題。
矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點(diǎn)包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。
二、向量與線(xiàn)性方程組
向量與線(xiàn)性方程組是整個(gè)線(xiàn)性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線(xiàn)性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎性章節，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。
向量與線(xiàn)性方程組的內容聯(lián)系很密切，很多知識點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點(diǎn)之間的內在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運用的前提。
這部分的重要考點(diǎn)一是線(xiàn)性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線(xiàn)性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯(lián)系。
(1)齊次線(xiàn)性方程組與向量線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系
齊次線(xiàn)性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時(shí)等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線(xiàn)性表示”。
齊次線(xiàn)性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當齊次線(xiàn)性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線(xiàn)性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線(xiàn)性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)�？梢栽O想線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線(xiàn)性方程組問(wèn)題而提出的。
(2)齊次線(xiàn)性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系
同樣可以認為秩是為了更好地討論線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數”。經(jīng)過(guò) “秩→線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)→線(xiàn)性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解，且齊次線(xiàn)性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量(基礎解系)線(xiàn)性表示。
(3)非齊次線(xiàn)性方程組與線(xiàn)性表出的聯(lián)系
非齊次線(xiàn)性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量
三、特征值與特征向量
相對于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線(xiàn)性代數這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線(xiàn)代中的大量?jì)热荨扔行辛惺�、矩陣又有線(xiàn)性方程組和線(xiàn)性相關(guān)性，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。
本章知識要點(diǎn)如下：
1. 特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。
2. 相似矩陣及其性質(zhì)，需要區分矩陣的相似、等價(jià)與合同：
3. 矩陣可相似對角化的條件，包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征值;二是任意r重特征根對應有r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。
4. 實(shí)對稱(chēng)矩陣及其相似對角化，n階實(shí)對稱(chēng)矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。
四、二次型
這部分所講的內容從根本上講是特征值和特征向量的一個(gè)延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實(shí)對稱(chēng)矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對角化”，其過(guò)程就是上一章實(shí)對稱(chēng)矩陣相似對角化的應用。
本章核心要點(diǎn)如下：
1. 用正交變換化二次型為標準型。
2. 正定二次型的判斷與證明。
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